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\begin{document}


COMPL\'{E}MENTS SUR LES VARIABLES AL\'{E}ATOIRES

\bigskip

1) Lois de probabilit\'{e} finies usuelles.

\bigskip

a) Les 3 lois au programme.

\bigskip

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Nom de la loi & Notation & param\`{e}tres & loi de probabilit\'{e} & Esp\'{e}%
rance & Variance \\ \hline
loi uniforme & $\mathcal{U}\left( a,b\right) $ & $a\leqslant b\in \mathbb{N}%
^{\ast }$ & $P\left( X=k\right) =\dfrac{1}{n},a\leqslant k\leqslant b,$ $%
n=b-a+1$ & ................... & .................. \\ \hline
loi de Bernoulli & $\mathcal{B}\left( p\right) $ & 
\begin{tabular}{l}
$p\in \left[ 0,1\right] $ \\ 
$q=1-p$%
\end{tabular}
& 
\begin{tabular}{l}
$P\left( X=1\right) =p$ \\ 
$P\left( X=0\right) =q$%
\end{tabular}
&  &  \\ \hline
loi binomiale & $\mathcal{B}\left( n,p\right) $ & 
\begin{tabular}{l}
$n\in \mathbb{N}^{\ast }$ \\ 
$p\in \left[ 0,1\right] $ \\ 
$q=1-p$%
\end{tabular}
& $P\left( X=k\right) =\left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
k%
\end{array}%
\right) p^{k}q^{n-k},0\leqslant k\leqslant n$ &  &  \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

Notation : pour dire que la variable $X$ suit la loi de Bernouilli de param%
\`{e}tre $p$ on \'{e}crit : $X\hookrightarrow \mathcal{B}\left( p\right) .$

\bigskip

Calcul de l'esp\'{e}rance et de la variance.

\bigskip D1

\bigskip Obtention de ces diff\'{e}rentes lois :

\bigskip - la loi uniforme : jet d'un d\'{e} non pip\'{e}, tirage d'une
boule parmi $n$ boules num\'{e}rot\'{e}es de 1 \`{a} $n$, boules
indiscernables au toucher.

\bigskip

- la loi de Bernoulli : jet d'une pi\`{e}ce non \'{e}quilibr\'{e}e, tirage
d'une boule dans une urne contenant $N$ boules dont $pN$ sont d'un type, et $%
qN$ d'un autre, tout ph\'{e}nom\`{e}ne al\'{e}atoire avec deux issues : succ%
\`{e}s, \'{e}chec ("exp\'{e}rience de Bernoulli").

Si $A$ est un \'{e}v\`{e}nement quelconque, alors $X_{A}$ suit une loi de
Bernoulli $B\left( P\left( A\right) \right) .$

\bigskip

- la loi binomiale : r\'{e}p\'{e}tition de $n$ exp\'{e}riences de Bernoulli,
identiques et ind\'{e}pendantes, concr\`{e}tement : loi du tirage \textit{%
avec remise} de $n$ boules dans une urne contenant $N$ boules dont $pN$ sont
d'un type, et $qN$ d'un autre.

\bigskip

b) La loi hyperg\'{e}om\'{e}trique (hors programme).

\bigskip

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
Notation & param\`{e}tres & loi de probabilit\'{e} & Esp\'{e}rance & Variance
\\ \hline
$\mathcal{H}\left( N,n,p\right) $ & 
\begin{tabular}{l}
$n,N\in \mathbb{N}$ \\ 
$p\in \left[ 0,1\right] ,q=1-p$ \\ 
$Np,Nq$ entiers%
\end{tabular}
& $P\left( X=k\right) =\dfrac{\left( 
\begin{array}{c}
Np \\ 
k%
\end{array}%
\right) \left( 
\begin{array}{c}
Nq \\ 
n-k%
\end{array}%
\right) }{\left( 
\begin{array}{c}
N \\ 
n%
\end{array}%
\right) },0\leqslant k\leqslant n$ & $np$ & $npq\dfrac{N-n}{N-1}$ \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

Loi du tirage \textit{simultan\'{e}} de $n$ boules dans une urne contenant $%
N $ boules dont $pN$ sont d'un type, et $qN$ d'un autre.

\bigskip

REM : le calcul de l'esp\'{e}rance et de la variance de la loi hyperg\'{e}om%
\'{e}trique constituent d'excellents exercices !

\bigskip

2) In\'{e}galit\'{e}s de Markov et de Bienaym\'{e}-Tchebychev.

\bigskip

\bigskip PROP : soit $X$ une variable al\'{e}atoire positive. On a alors,
pour $a>0$ :%
\begin{equation*}
P\left( X\geqslant a\right) \leqslant \dfrac{E\left( X\right) }{a}\text{ (in%
\'{e}galit\'{e} de Markov)}
\end{equation*}

\bigskip

D1 : $E\left( X\right) =\underset{k}{\dsum }x_{k}P\left( X=x_{k}\right)
\geqslant \underset{x_{k}\geqslant a}{\dsum }x_{k}P\left( X=x_{k}\right)
\geqslant \underset{x_{k}\geqslant a}{\dsum }aP\left( X=x_{k}\right)
=aP\left( X\geqslant a\right) .$

\bigskip

REM : on \'{e}crit parfois cette in\'{e}galit\'{e} sous la forme :%
\begin{equation*}
P\left( X\geqslant km\right) \leqslant \dfrac{1}{k}\text{(o\`{u} }m=E\left(
X\right) )
\end{equation*}

\bigskip Cela donne donc un majorant de la probabilit\'{e} qu'une variable d%
\'{e}passe $k$ fois son esp\'{e}rance.

En particulier, il y a moins de 50\% de chances qu'une variable double son
esp\'{e}rance.

\bigskip

PROP\ : soit $X$ une variable al\'{e}atoire r\'{e}elle d'esp\'{e}rance $m$.
On a alors, pour $\varepsilon >0$ :%
\begin{equation*}
P\left( \left\vert X-m\right\vert \geqslant \varepsilon \right) \leqslant 
\dfrac{V\left( X\right) }{\varepsilon ^{2}}\text{ (in\'{e}galit\'{e} de
Bienaym\'{e}-Tchebychev)}
\end{equation*}

D2 : d'apr\`{e}s Markov, $P\left( \left\vert X-m\right\vert ^{2}\geqslant
\varepsilon ^{2}\right) \leqslant \dfrac{E\left( \left( X-m\right)
^{2}\right) }{\varepsilon ^{2}}=\dfrac{V\left( X\right) }{\varepsilon ^{2}}.$

\bigskip

REM : on aurait aussi $P\left( \left\vert X-m\right\vert \geqslant
\varepsilon \right) \leqslant \dfrac{\text{\'{e}cart moyen}}{\varepsilon }.$

\bigskip

3) Couples de variables al\'{e}atoires. Ind\'{e}pendance.

\bigskip

Soient $X$ et $Y$ deux var d\'{e}finies sur un m\^{e}me univers $\Omega $ ; $%
\left( X,Y\right) :$ s'appelle un \textit{couple al\'{e}atoire.}

\bigskip

DEF : l'application $p_{X,Y}$ d\'{e}finie sur l'univers image $\left(
X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ x_{1},...,x_{p}\right\} $ $\times
\left\{ y_{1},...,y_{q}\right\} $ qui \`{a} $\left( x_{i},y_{j}\right) $
fait correspondre $P\left( \left\{ \left( X,Y\right) =\left(
x_{i},y_{j}\right) \right\} \right) $s'appelle la \textit{loi de probabilit%
\'{e}} \textit{(conjointe)} du couple $(X,Y).$ Et on d\'{e}finit sur $\left(
X,Y\right) \left( \Omega \right) $ la \textit{probabilit\'{e} induite par } $%
(X,Y)$\textit{\ }$:P_{X,Y}$ par 
\begin{equation*}
P_{X,Y}\left( U\times V\right) =P\left( \left\{ (X,Y)\in U\times V\right\}
\right)
\end{equation*}

Exemple : \'{E}preuve al\'{e}atoire :

Une boite contient 6 jetons, 3 carr\'{e}s : 2 verts et un bleu, et 3 ronds :
2 bleus et un vert.

L'\'{e}preuve consiste \`{a} tirer deux jetons simultan\'{e}ment.

Univers : $\Omega =\mathtt{ensembl}$e des paires de jetons, avec \'{e}%
quiprobabilit\'{e} ($\left\vert \Omega \right\vert =.....=........).$

Variables al\'{e}atoires : $C$ = nombre de jetons carr\'{e}s , \ $V$ =
nombre de jetons verts.

Univers image : $\left( C,V\right) \left( \Omega \right) \subset \left\{
0,1,2\right\} ^{2}.$

La loi de probabilit\'{e} de $\left( C,V\right) $ est pr\'{e}sent\'{e}e dans
le tableau :

\bigskip

$%
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
$C\backslash V$ & $0$ & $1$ & $2$ & loi de $C$ \\ \hline
$0$ &  &  & 0 &  \\ \hline
$1$ &  &  &  &  \\ \hline
$2$ &  &  &  &  \\ \hline
loi de $V$ &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabular}%
$

\bigskip

DEF : deux variables al\'{e}atoires $X$ et $Y$ sont dites ind\'{e}pendantes
si tous les \'{e}v\`{e}nements \'{e}l\'{e}mentaires $\left\{ X=x_{i}\right\} 
$ li\'{e}s \`{a} $X$ sont ind\'{e}pendants de tous les \'{e}v\`{e}nements 
\'{e}l\'{e}mentaires $\left\{ Y=y_{j}\right\} $ li\'{e}s \`{a} $Y,$
autrement dit si 
\begin{equation*}
P\left( \left( X,Y\right) =\left( x_{i},y_{j}\right) \right) =P\left(
X=x_{i}\right) P\left( Y=y_{j}\right)
\end{equation*}

\bigskip Exemple : les fonctions caract\'{e}ristiques $X_{A}$ et $X_{B}$
sont ind\'{e}pendantes ssi $A$ et $B$ sont ind\'{e}pendants.

D3

\bigskip

PROP : si $X$ et $Y$ sont ind\'{e}pendantes, tous les \'{e}v\`{e}nements li%
\'{e}s \`{a} $X$ sont ind\'{e}pendants de tous les \'{e}v\`{e}nements li\'{e}%
s \`{a} $Y$, autrement dit pour tout $U\subset X\left( \Omega \right) $ et
tout $V\subset X\left( \Omega \right) $: 
\begin{equation*}
P\left( (X,Y)\in U\times V\right) =P\left( X\in U\right) P\left( Y\in
V\right)
\end{equation*}

D4

\bigskip

4) Covariance.

\bigskip

DEF : la \textit{covariance} de deux variables al\'{e}atoires r\'{e}elles $X$
et $Y$ est le r\'{e}el (moyenne du produit des \'{e}carts \`{a} la moyenne)
: 
\begin{equation*}
\text{Cov}\left( X,Y\right) =E\left( \left( X-E\left( X\right) \right)
\left( Y-E\left( Y\right) \right) \right)
\end{equation*}

\bigskip Lorsque la covariance est nulle, on dit que les variables sont "%
\textit{non corr\'{e}l\'{e}es}".

REM : $V\left( X\right) =$Cov$\left( X,X\right) .$

\bigskip

PROP 1 : $Cov\left( X,Y\right) =E\left( XY\right) -E\left( X\right) E\left(
Y\right) $ (Formule de Koenig-Huygens)

D5

\bigskip

Exemple : Cov$\left( X_{A},X_{B}\right) =P\left( A\cap B\right) -P\left(
A\right) P\left( B\right) .$

\bigskip D6

\bigskip

PROP 2 : la covariance est une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique positive
sur l'espace vectoriel $\mathbb{R}^{P\left( \Omega \right) }$ et c'est m\^{e}%
me un produit scalaire sur le sous-espace vectoriel des variables al\'{e}%
atoires centr\'{e}es.

\bigskip

D7

\bigskip

On en d\'{e}duit :

CORO : $V\left( X+Y\right) =V\left( X\right) +V\left( Y\right) +2$Cov$\left(
X,Y\right) $

\bigskip

CORO du CORO (th\'{e}or\`{e}me de "Pythagore"):%
\begin{equation*}
\fbox{2 variables al\'{e}atoires sont non corr\'{e}l\'{e}es ssi la variance
de leur somme est \'{e}gale \`{a} la somme de leurs variances.}
\end{equation*}

\bigskip CORO du CORO du CORO : si $X_{1},...,X_{n}$ sont des variables al%
\'{e}atoires deux \`{a} deux non corr\'{e}l\'{e}es%
\begin{equation*}
\fbox{$V\left( X_{1}+...+X_{n}\right) =V\left( X_{1}\right) +...+V\left(
X_{n}\right) $}
\end{equation*}

D8

\bigskip

REM : l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwarz est valable pour toute forme
bilin\'{e}aire sym\'{e}trique positive (non forc\'{e}ment d\'{e}finie) ; on
a donc%
\begin{equation*}
\left( \text{Cov}\left( X,Y\right) \right) ^{2}\leqslant V\left( X\right)
V\left( Y\right)
\end{equation*}

Par contre, on ne peut plus appliquer le cas d'\'{e}galit\'{e}.

\bigskip

5) Covariance nulle et ind\'{e}pendance.

Vu que d'apr\`{e}s la formule ci-dessus, $X_{A}$ et $X_{B}$ sont non corr%
\'{e}l\'{e}es ssi $A$ et $B$ sont ind\'{e}pendants, on souhaiterait bien que
la non corr\'{e}lation soit \'{e}quivalente \`{a} l'ind\'{e}pendance, mais
on n'a malheureusement qu'une implication :

\bigskip

TH : si $X$ et $Y$ sont ind\'{e}pendantes, $E\left( XY\right) =E\left(
X\right) E\left( Y\right) ,$ d'o\`{u}%
\begin{equation*}
\text{si }X\text{ et }Y\text{ sont ind\'{e}pendantes, Cov}\left( X,Y\right)
=0\text{ et }V\left( X+Y\right) =V\left( X\right) +V\left( Y\right)
\end{equation*}

\bigskip D9

REM : Deux variables ind\'{e}pendantes sont donc non corr\'{e}l\'{e}es, mais
ATTENTION : la r\'{e}ciproque est fausse !

L'ind\'{e}pendance est plus forte que la non corr\'{e}lation.

\bigskip

Exemple : Soit $X$ une v.a. suivant la loi uniforme sur $\{-1,0,1\}$ ; alors 
$X$ et $X^{2}$ sont non corr\'{e}l\'{e}es, mais non ind\'{e}pendantes.

\bigskip

En effet $Cov\left( X,X^{2}\right) =E\left( XX^{2}\right) -E(X)E\left(
X^{2}\right) =.............$

\bigskip mais $P\left( \left[ X=1\right] \cap \left[ X^{2}=0\right] \right)
=......$

tandis que : $P\left( \left[ X=1\right] )P(\left[ X^{2}=0\right] \right)
=......$

\bigskip

\bigskip 4) Ev\`{e}nements, variables al\'{e}atoires mutuellement ind\'{e}%
pendant(e)s.

\bigskip DEF : Soient $A_{1},$ ... $A_{n}$ des \'{e}v\`{e}nements.

On dit qu'ils sont \textit{mutuellement} ind\'{e}pendants si pour toute
sous-famille $\left( A_{i_{1}},...,A_{i_{p}}\right) $ avec des indices
distincts, on a%
\begin{equation*}
P\left( A_{i_{1}}\cap ....\cap A_{i_{p}}\right) =P\left( A_{i_{1}}\right)
...P\left( A_{i_{p}}\right)
\end{equation*}

\bigskip

Une v\'{e}rification d'ind\'{e}pendance mutuelle de $n$ \'{e}v\`{e}nements n%
\'{e}cessite donc de v\'{e}rifier ....................\'{e}galit\'{e}s.

\bigskip

ATTENTION\ 1 : des \'{e}v\`{e}nements mutuellement ind\'{e}pendants sont 2 
\`{a} 2 ind\'{e}pendants MAIS LA R\'{E}CIPROQUE EST FAUSSE !

\bigskip Contre-exemple : soient $A,B,C$ trois \'{e}v\`{e}nements disjoints
deux \`{a} deux de probabilit\'{e} 1/4 chacun.

On v\'{e}rifie que $A\cup B,$ $B\cup C,C\cup A$ sont deux \`{a} deux ind\'{e}%
pendants (ce qui vient de ce que $\left( 1/4+1/4\right) \left(
1/4+1/4\right) =$ $1/4),$ mais qu'ils ne sont pas mutuellement ind\'{e}%
pendants (car leur intersection est vide).

\bigskip

ATTENTION 2 : $P\left( A_{1}\cap ....\cap A_{n}\right) =P\left( A_{1}\right)
...P\left( A_{n}\right) $ ne suffit pas pour que $A_{1},$ ... $A_{n}$ soient
ind\'{e}pendants.

\bigskip

Contre-exemple : soient $A,B,C$ trois \'{e}v\`{e}nements disjoints deux \`{a}
deux de probabilit\'{e} $a$ chacun et un \'{e}v\`{e}nement $X$ de probabilit%
\'{e} $x$ disjoint des deux autres, $A^{\prime }=A\cup X,$ $B^{\prime
}=B\cup X,C^{\prime }=C\cup X.$

Alors 
\begin{equation*}
P\left( A^{\prime }\cap B^{\prime }\cap C^{\prime }\right) =P\left(
A^{\prime }\right) P\left( B^{\prime }\right) P\left( C^{\prime }\right) ~%
\text{ssi }x=\left( a+x\right) ^{3}(1)
\end{equation*}

et 
\begin{equation*}
P\left( A^{\prime }\cap B^{\prime }\right) =P\left( A^{\prime }\right)
P\left( B^{\prime }\right) \ \ \text{ssi }x=\left( a+x\right) ^{2}(2)
\end{equation*}%
$.$

Si donc $x=\left( a+x\right) ^{3}$ et $a+x<1,$ on a un exemple o\`{u} (1)
est vrai et (2) est faux.

Par exemple, $x=\dfrac{1}{2^{3}}$ et $a=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^{3}}$

D10

\bigskip

ATTENTION 3 :\bigskip 

Pour des \textit{entiers} : "2 \`{a} 2 premiers entre eux" implique
"premiers entre eux dans leur ensemble", r\'{e}ciproque fausse.

\bigskip

Pour des \textit{\'{e}v\`{e}nements} ou des \textit{sous-espaces,}
"mutuellement ind\'{e}pendants" implique "2 \`{a} 2 ind\'{e}pendants", r\'{e}%
ciproque fausse.

\bigskip 

Une ind\'{e}pendance mutuelle implique l'ind\'{e}pendance mutuelle des \'{e}v%
\'{e}nements issus par compl\'{e}mentarisation, intersection ou r\'{e}union
; plus pr\'{e}cis\'{e}ment, on a la\bigskip

PROP : Soit $A_{1},...,A_{n}$ une famille d'\'{e}v\`{e}nements mutuellement
ind\'{e}pendants. Alors :

(i) On obtient encore une famille d'\'{e}v\`{e}nements mutuellement ind\'{e}%
pendants si l'on remplace certains des $A_{i}$ par leurs contraires.

(ii) $A_{1}$ est ind\'{e}pendant de tout \'{e}v\`{e}nement pouvant s'\'{e}%
crire comme r\'{e}union ou intersection des \'{e}v\`{e}nements $%
A_{2},...,A_{n}$ ou de leurs contraires.

\bigskip

D11

\bigskip

DEF : des variables al\'{e}atoires $\left( X_{i}\right) _{i=1..n}$ sont
dites mutuellement ind\'{e}pendantes, si les \'{e}v\`{e}nements \'{e}l\'{e}%
mentaires $\left( \left\{ X_{i}=cte\right\} \right) _{i=1..n}$ qui leurs
sont li\'{e}s sont mutuellement ind\'{e}pendants.

\bigskip

PROP : on a alors l'ind\'{e}pendance mutuelle de tous les \'{e}v\'{e}nements
li\'{e}s, soit%
\begin{equation*}
P\left( \left( X_{1},...,X_{n}\right) \in A_{1}\times ...\times A_{n}\right)
=P\left( X_{1}\in A_{1}\right) .....P\left( X_{n}\in A_{n}\right)
\end{equation*}

D12

\bigskip

REM : l'exemple des $X_{A}$ montre que comme pour les \'{e}v\`{e}nements,
l'ind\'{e}pendance deux \`{a} deux des variables al\'{e}atoires n'implique
pas l'ind\'{e}pendance mutuelle.

\bigskip

5) Application \`{a} la loi binomiale.

\bigskip

PROP : la somme de $n$ variables al\'{e}atoires suivant toutes la m\^{e}me
loi de Bernoulli de param\`{e}tre $p$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}%
(n,p) $.

\bigskip

D13

\bigskip

Cons\'{e}quence importante : si $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ sont $n$ \'{e}v\`{e}%
nements ind\'{e}pendants de m\^{e}me probabilit\'{e} $p,$ la variable $%
X=X_{A_{1}}+X_{A_{2}}+...+X_{A_{n}}$ donnant le nombre de $A_{i}$ qui sont r%
\'{e}alis\'{e}s suit $\mathcal{B}(n,p).$

\bigskip

Application au calcul rapide de l'esp\'{e}rance et de la variance de la loi
binomiale :

Esp\'{e}rance =

Variance =

\bigskip

Plus g\'{e}n\'{e}ralement si $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ sont $n$ \'{e}v\`{e}%
nements ind\'{e}pendants deux \`{a} deux de probabilit\'{e}s $p_{1},...,p_{n}
$ et $X=X_{A_{1}}+X_{A_{2}}+...+X_{A_{n}}$ le nombre d'\'{e}v\'{e}nements r%
\'{e}alis\'{e}s parmi ces $n$ \'{e}v\`{e}nements alors 
\begin{eqnarray*}
E\left( X\right)  &=&\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}p_{k} \\
V\left( X\right)  &=&\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}p_{k}\left(
1-p_{k}\right) 
\end{eqnarray*}

\bigskip

\bigskip Encore plus g\'{e}n\'{e}ralement, si $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ sont $%
n $ \'{e}v\`{e}nements ind\'{e}pendants deux \`{a} deux de probabilit\'{e}s $%
p_{1},...,p_{n}$ donnant lieu \`{a} des gains respectifs $x_{1},...,x_{n},$
et $S$ le gain total,

\begin{eqnarray*}
E\left( S\right)  &=&\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}x_{k}p_{k} \\
V\left( S\right)  &=&\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}x_{k}^{2}\
p_{k}\left( 1-p_{k}\right) 
\end{eqnarray*}

\end{document}
